一級結構之梁的位移及簡單超靜定梁
發布時間：2010-01-14 共1頁
直梁在平面彎曲時，其軸線將在形心主慣性平面內彎成一條連續光滑的平面曲線且c，月，如圖7一l所示，該曲線稱為梁的撓曲線。任一橫截面的形心在垂直于原來軸線方向的線位移，稱為該截面的撓度，用。來表示。工程中常用梁的撓度均遠小于跨度，撓曲線是一條非常子緩的曲線，所以任一橫截面的形心在軸線方向的位移分量都可略去，認為它僅有前述的線位移v。任一橫截面對其原方位的角位移，稱為該截面的轉角，用"來表示。由于在一般細長梁中可忽略剪力對變形的影響，所以橫截面在梁彎曲變形后仍垂直于撓曲線，這樣，任一橫截面的轉角"也就等于撓曲線在該截面處的切線與軸線的夾角。
為了表示撓度和轉角隨截面位置不同而變化的規律，取變形前的軸線為x軸，與軸線垂直向下的軸為了軸(圖7—1)，則撓曲線的方程(或稱為撓度方程)可表示即
撓曲線上任一點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉角。
撓度和轉角是度量梁的位移的兩個基本量，在圖7一1所示的坐標系中，向下的撓度為正，向上的撓度為負;順時針向的轉角為正，逆時針向的轉角為負。
如§2—5中所述，變形和位移是兩個不同的概念，但又互相聯系。例如有兩根梁，其長度、材料、橫截面的形狀和尺寸以及受力情況等均相同，但一根為懸臂梁，另一根為簡支梁，如圖7—2(a)、(b)所示。這兩根梁的彎曲變形程度是相同的，因為它們的中性層曲率ldM／EL相同，但其相應橫截面的位移卻明顯不同。這是因為梁的彎曲變形僅與彎矩和梁的抗彎剛度有
關，而各橫截面的位移量不僅取決于彎矩和梁的抗彎剛度，還與梁的約束條件有關。
研究梁的位移主要有兩個目的；(1)對梁作剛度校核，即檢查梁彎曲時的最大撓度和轉角是否超過按使用要求所規定的容許值；(2)求解超靜定粱。
§7—2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分
在推導純彎曲梁的正應力公式時，曾導出梁彎曲后中性層曲率的表達式為1如＝M／EI．(參見公式6—1)。但應指出，該式中的曲率l／P是指絕對值，而實際上撓曲線的曲率是有正負的，它與坐標系的選取有關。在如圖7—3所示的坐標系中，撓曲線向下凸出時的曲率為負，它與正值的彎矩相對應；而撓曲線向上凸出時的曲率為正，卻與負值的彎矩相對應。故將公式(6—1)重新寫成如下形式
橫力彎曲時，梁的橫截面上除了有彎矩M之外，還有剪力Q，若梁的跨度遠大于橫截面高度時，剪力Q對梁位移的影響很小，可忽略不計①。所以
為了表示撓度和轉角隨截面位置不同而變化的規律，取變形前的軸線為x軸，與軸線垂直向下的軸為了軸(圖7—1)，則撓曲線的方程(或稱為撓度方程)可表示即
撓曲線上任一點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉角。
撓度和轉角是度量梁的位移的兩個基本量，在圖7一1所示的坐標系中，向下的撓度為正，向上的撓度為負;順時針向的轉角為正，逆時針向的轉角為負。
如§2—5中所述，變形和位移是兩個不同的概念，但又互相聯系。例如有兩根梁，其長度、材料、橫截面的形狀和尺寸以及受力情況等均相同，但一根為懸臂梁，另一根為簡支梁，如圖7—2(a)、(b)所示。這兩根梁的彎曲變形程度是相同的，因為它們的中性層曲率ldM／EL相同，但其相應橫截面的位移卻明顯不同。這是因為梁的彎曲變形僅與彎矩和梁的抗彎剛度有
關，而各橫截面的位移量不僅取決于彎矩和梁的抗彎剛度，還與梁的約束條件有關。
研究梁的位移主要有兩個目的；(1)對梁作剛度校核，即檢查梁彎曲時的最大撓度和轉角是否超過按使用要求所規定的容許值；(2)求解超靜定粱。
§7—2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分
在推導純彎曲梁的正應力公式時，曾導出梁彎曲后中性層曲率的表達式為1如＝M／EI．(參見公式6—1)。但應指出，該式中的曲率l／P是指絕對值，而實際上撓曲線的曲率是有正負的，它與坐標系的選取有關。在如圖7—3所示的坐標系中，撓曲線向下凸出時的曲率為負，它與正值的彎矩相對應；而撓曲線向上凸出時的曲率為正，卻與負值的彎矩相對應。故將公式(6—1)重新寫成如下形式
橫力彎曲時，梁的橫截面上除了有彎矩M之外，還有剪力Q，若梁的跨度遠大于橫截面高度時，剪力Q對梁位移的影響很小，可忽略不計①。所以
